Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3} x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.4

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{- 4}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4

$- 3$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.6

$\frac{- 12}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Scomponi $3$ da $- 12 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2.4

Dividi $- 4 x^{2}$ per $1$ .

$- 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 4 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{2} + 4 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 4 x^{2} + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} + 4$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 x + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $- 8 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - 8 x$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 x$ .

$- 8 x$