Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5$

Passaggio 1

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ .

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 5$

Passaggio 2

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 1}$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

Passaggio 2.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Passaggio 2.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$

Passaggio 2.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$	$5$

Passaggio 2.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(8)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Passaggio 2.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$13$

Passaggio 2.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(13)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(13)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(5)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$

Passaggio 2.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$	$18$

Passaggio 2.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Passaggio 2.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Passaggio 3

Poiché $1 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $1$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $1$

Passaggio 4

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 5}$ quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Passaggio 4.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Passaggio 4.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$

Passaggio 4.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$	$9$

Passaggio 4.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(9)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(45)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(8)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$

Passaggio 4.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$	$53$

Passaggio 4.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(53)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(265)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(5)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$

Passaggio 4.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$	$270$

Passaggio 4.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Passaggio 4.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Passaggio 5

Poiché $5 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $5$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $5$

Passaggio 6

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x + 5}$ quando $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 5)$ e posiziona il risultato di $(- 5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$	$- 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(- 5)$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(8)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$	$13$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(13)$ per il divisore $(- 5)$ e posiziona il risultato di $(- 65)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(5)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$	$- 60$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + - 1 x + 13 + \frac{- 60}{x + 5}$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - x + 13 - \frac{60}{x + 5}$

Passaggio 7

Poiché $- 5 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 5$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 5$

Passaggio 8

Determina i limiti superiore e inferiore.

Maggioranti: $1, 5$

Minorante: $- 5$

Passaggio 9