Calcolo Esempi

$\sqrt{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{1}{x}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 7.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{- 2}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{x^{- 2}}{2})$

Passaggio 9.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Passaggio 10.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 10.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.2.3.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

Passaggio 10.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Passaggio 10.2.3.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.2.3.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 10.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 10.2.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.2.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Passaggio 10.2.3.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$