Calcolo Esempi

$x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{3} \cdot e^{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \cdot e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Passaggio 5.2

$\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Passaggio 11.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 11.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 11.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$