Calcolo Esempi

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

Passaggio 1

Dividi $x - 5$ per $- 2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$2$

$x$

$5$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- 2 x$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $4$ e $- 2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

Passaggio 7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 8

Sia $u = - x + 1$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = - x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 8.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$