Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{3} + 2003$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = x^{3} + 2003$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2003$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $2003$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2003$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sin (u) d u$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\int \sin (u) d u$ per $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$