Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $\sin (x)$ da $0$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Passaggio 1.5.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $0$ e per $2$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 6

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$- \ln (\frac{0}{2})$

Passaggio 7.3

Dividi $0$ per $2$ .

$- \ln (0)$

Passaggio 7.4

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$- \ln (0)$

Passaggio 8

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito