Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 5$ e $y = 4$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 5 = 4$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 5 = 4$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4 + 5$

Passaggio 1.2.1.2

Somma $4$ e $5$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 1.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 1.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 1.3

Sostituisci $3$ a $x$ .

$y = 4$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 4 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} - 5 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 3}^{3} 4 - (x^{2} - 5) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 - x^{2} - - 5$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$4 - x^{2} + 5$

$\int_{- 3}^{3} 4 - x^{2} + 5 d x$

Passaggio 3.3

Somma $4$ e $5$ .

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 9 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.8

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Passaggio 3.9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $- 3$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Passaggio 3.9.2

Calcola $9 x$ per $3$ e per $- 3$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3

Semplifica.

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Passaggio 3.9.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

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Passaggio 3.9.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- (9 - \frac{- 27}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.4

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.4.1

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (9 - \frac{- 9}{1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.4.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$- (9 - - 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$- (9 + 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.6

Somma $9$ e $9$ .

$- 1 \cdot 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.7

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$- 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.8

Moltiplica $9$ per $3$ .

$- 18 + 27 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 3.9.3.9

Moltiplica $- 9$ per $- 3$ .

$- 18 + 27 + 27$

Passaggio 3.9.3.10

Somma $27$ e $27$ .

$- 18 + 54$

Passaggio 3.9.3.11

Somma $- 18$ e $54$ .

$36$

Passaggio 4