Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $100$ per $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Passaggio 1.3

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Passaggio 3

Calcola $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $20$ e $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $20$ per $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $40$ e $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $420$ per $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$50 (\frac{17220}{3})$

Passaggio 3.3.2.3

$50$ e $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $50$ per $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Dividi $861000$ per $3$ .

$287000$

Passaggio 4

Calcola $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $20$ e $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $20$ per $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 250 \cdot 420$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 250$ per $420$ .

$- 105000$

Passaggio 5

Calcola $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(100) (20)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $100$ per $20$ .

$2000$

Passaggio 6

Somma i risultati delle sommatorie.

$287000 - 105000 + 2000$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sottrai $105000$ da $287000$ .

$182000 + 2000$

Passaggio 7.2

Somma $182000$ e $2000$ .

$184000$