Calcolo Esempi

$e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ come funzione.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$