Calcolo Esempi

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = 4 x$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 8 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $y$ è $- 8 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x x') + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d y} [9 x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $y$ è $9 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + \frac{d}{d y} [π]$

Passaggio 3.5

Poiché $π$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $π$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + 0$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Somma $\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$ e $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$ .

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$ .

$4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $x'$ da $4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x'$ da $4 x' \cos (4 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x)) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x'$ da $- 16 x x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + 9 x' = 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x'$ da $9 x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $x'$ da $x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $x'$ da $x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ ciascun termine in $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ ciascun termine in $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ .

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$