Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{x + 3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(u - 3)}^{3}}{u} d u$

Passaggio 2

Usa il teorema binomiale.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 {(- 3)}^{2}}{u} d u$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

Passaggio 3.4

Sposta $u^{2}$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

Passaggio 3.5

Sposta $u$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} - 9 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 9$ per $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u + 9 \cdot - 3}{u} d u$

Passaggio 3.10

Moltiplica $9$ per $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27}{u} d u$

Passaggio 4

Dividi $u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$u$

$0$

$u^{3}$

$9 u^{2}$

$27 u$

$27$

Passaggio 4.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $u^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$

Passaggio 4.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			+	$u^{3}$	+	$0$

Passaggio 4.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $u^{3} + 0$

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$

Passaggio 4.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$

Passaggio 4.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

Passaggio 4.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 u^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

Passaggio 4.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					-	$9 u^{2}$	+	$0$

Passaggio 4.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 u^{2} + 0$

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$

Passaggio 4.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$

Passaggio 4.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

Passaggio 4.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $27 u$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

Passaggio 4.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							+	$27 u$	+	$0$

Passaggio 4.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $27 u + 0$

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$

Passaggio 4.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$
									-	$27$

Passaggio 4.16

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int u^{2} - 9 u + 27 - \frac{27}{u} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{2} d u + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 9$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 \int u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - \int \frac{27}{u} d u$

Passaggio 12

Poiché $27$ è costante rispetto a $u$ , sposta $27$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - (27 \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 13

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{u^{3}}{3} - \frac{9 u^{2}}{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{9}{2} u^{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

Passaggio 17

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{3} - \frac{9}{2} {(x + 3)}^{2} + 27 (x + 3) - 27 \ln (| x + 3 |) + C$