Calcolo Esempi

$S = \frac{\sqrt{h w}}{60}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{h w}$ come ${(h w)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{60}$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}$ rispetto a $w$ è $\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ e $g (w) = h w$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{{(h w)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 7.3

Sposta ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w])$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{60}$ .

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}} \cdot 60} \frac{d}{d w} [h w]$

Passaggio 7.5

Moltiplica $60$ per $2$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w]$

Passaggio 8

Poiché $h$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $h w$ rispetto a $w$ è $h \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} (h \frac{d}{d w} [w])$

Passaggio 9

$h$ e $\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [w]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la regola del prodotto a $h w$ .

$\frac{h}{120 (h^{\frac{1}{2}} w^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 12.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.2.1

Sposta $h^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{h \cdot h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $h$ per $h^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.2.2.1

Moltiplica $h$ per $h^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 12.2.2.1.1

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$\frac{h^{1} h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{h^{1 - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{h^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{h^{\frac{2 - 1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{h^{\frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$