Calcolo Esempi

$\arcsin (x)$

Passaggio 1

La derivata di $\arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x^{2}}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.7.2

${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.12

Moltiplica.

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Passaggio 2.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Passaggio 2.14

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.14.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Passaggio 2.14.2

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.14.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.14.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.14.5

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$