Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 12 + \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 12 + \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $12 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [12 + \cos (x)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $\sin (x)$ da $0$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 4

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 + \cos (x)$ .

$- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$