Calcolo Esempi

$y = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 (x - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$0 - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 (x - \frac{π}{3})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]))$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- \frac{π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + 0)))$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \cdot 1))$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \cdot 3)$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 (- 3 \sin (3 (x - \frac{π}{3})))$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$0 + 9 \sin (3 (x - \frac{π}{3}))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 + 9 \sin (3 x + 3 (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x - 3 \frac{π}{3})$

Passaggio 1.3.2.2

$- 3$ e $\frac{π}{3}$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- 3 π}{3})$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 π$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3})$

Passaggio 1.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 (1)})$

Passaggio 1.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 \cdot 1})$

Passaggio 1.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- π}{1})$

Passaggio 1.3.2.3.2.4

Dividi $- π$ per $1$ .

$0 + 9 \sin (3 x - π)$

Passaggio 1.3.2.4

Somma $0$ e $9 \sin (3 x - π)$ .

$9 \sin (3 x - π)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \sin (3 x - π)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\sin (3 x - π)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\sin (3 x - π))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (3 x - π) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) \cdot 3$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f'' (x) = 27 \cos (3 x - π)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$9 \sin (3 x - π) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (3 x - π) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (3 x - π) = 0$ .

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\sin (3 x - π)$ per $1$ .

$\sin (3 x - π) = \frac{0}{9}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $9$ .

$\sin (3 x - π) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x - π = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$3 x - π = 0$

Passaggio 7

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = π$

Passaggio 8

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = π$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$3 x - π = π - 0$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$3 x - π = π$

Passaggio 10.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = π + π$

Passaggio 10.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$3 x = 2 π$

Passaggio 10.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2 π$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $3 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$27 \cos (3 (\frac{π}{3}) - π)$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune.

$27 \cos (3 \frac{π}{3} - π)$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'espressione.

$27 \cos (π - π)$

Passaggio 13.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$27 \cos (0)$

Passaggio 13.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$27 \cdot 1$

Passaggio 13.4

Moltiplica $27$ per $1$ .

$27$

Passaggio 14

$x = \frac{π}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π - π}{3}))$

Passaggio 15.2.1.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Passaggio 15.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Passaggio 15.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (0)$

Passaggio 15.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cdot 1$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$27 \cos (3 (\frac{2 π}{3}) - π)$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Elimina il fattore comune.

$27 \cos (3 \frac{2 π}{3} - π)$

Passaggio 17.1.2

Riscrivi l'espressione.

$27 \cos (2 π - π)$

Passaggio 17.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$27 \cos (π)$

Passaggio 17.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$27 (- \cos (0))$

Passaggio 17.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$27 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.5

Moltiplica $27 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$27 \cdot - 1$

Passaggio 17.5.2

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$- 27$

Passaggio 18

$x = \frac{2 π}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2 π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{2 π - π}{3}))$

Passaggio 19.2.1.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 19.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 19.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (π)$

Passaggio 19.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- \cos (0))$

Passaggio 19.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 19.2.1.6.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 + 3$

Passaggio 19.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ .

$(\frac{π}{3}, - 2)$ è un minimo locale

$(\frac{2 π}{3}, 4)$ è un massimo locale

Passaggio 21