Calcolo Esempi

$\int \frac{20 x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , sposta $20$ fuori dall'integrale.

$20 \int \frac{x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 7 - 3 x^{2}$ . Allora $d u = - 6 x d x$ , quindi $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 7 - 3 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $7 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$0 - 6 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $6 x$ da $0$ .

$- 6 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{6}) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$20 \int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Passaggio 3.3

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$20 \int - \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$20 (- \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$- 20 \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{6}$ e $- 20$ .

$\frac{- 20}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $6$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 20$ .

$\frac{2 (- 10)}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 7.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 7.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 7.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ come $- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{10}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$- \frac{30}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{30}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $30$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Scomponi $6$ da $30$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.4.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$- 1 \cdot 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - 3 x^{2}$ .

$- 5 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$