Calcolo Esempi

$e^{y} - x y = e$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (e^{y} - x y) = \frac{d}{d y} (e)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} - x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{y} + \frac{d}{d y} [- x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x y]$ .

$e^{y} - \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$e^{y} - (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{y} - (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$e^{y} - (x \cdot 1 + y x')$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{y} - (x + y x')$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y} - x - (y x')$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{y} - x - y x'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$- y x' - x + e^{y}$

Passaggio 3

Poiché $e$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y x' - x + e^{y} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y x' + e^{y} = x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y x' = x - e^{y}$

Passaggio 5.2

Dividi per $- y$ ciascun termine in $- y x' = x - e^{y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- y$ ciascun termine in $- y x' = x - e^{y}$ .

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$