Calcolo Esempi

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

Passaggio 1

Dividi $x$ per $x + 10$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 10$

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

Passaggio 5

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

Passaggio 6

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

Passaggio 7

Sia $u = x + 10$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = x + 10$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 10$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Passaggio 7.3

Somma $0$ e $10$ .

$u_{lower} = 10$

Passaggio 7.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 10$ .

$u_{upper} = 5 + 10$

Passaggio 7.5

Somma $5$ e $10$ .

$u_{upper} = 15$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $x$ per $5$ e per $0$ .

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Passaggio 9.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $15$ e per $10$ .

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

Passaggio 9.3

Somma $5$ e $0$ .

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

Passaggio 10

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $15$ è $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

Passaggio 11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $10$ è $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $15$ e $10$ .

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Passaggio 11.3.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

Passaggio 11.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Passaggio 11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimale:

$0.94534891 \dots$

Passaggio 13