Calcolo Esempi

Find the derivative of $\sin^{2} (x + 5)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x + 5)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x + 5)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x + 5)$ .

$2 \sin (x + 5) \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + 5$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + 0)$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) \cdot 1$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$ .

$2 \cos (x + 5) \sin (x + 5)$

Passaggio 4.2

Riordina $2 \cos (x + 5)$ e $\sin (x + 5)$ .

$\sin (x + 5) (2 \cos (x + 5))$

Passaggio 4.3

Riordina $\sin (x + 5)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Passaggio 4.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 (x + 5))$

Passaggio 4.5

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (2 x + 2 \cdot 5)$

Passaggio 4.6

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\sin (2 x + 10)$