Calcolo Esempi

Find the derivative of $\sqrt[3]{6 x + 2}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{6 x + 2}$ come ${(6 x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x + 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 6 x + 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 11

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 12

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 + 0)$

Passaggio 13

Semplifica i termini.

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Passaggio 13.1

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 6$

Passaggio 13.2

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $6$ .

$\frac{6}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.3

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.1

Scomponi $3$ da $3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 ({(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{{(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$