Calcolo Esempi

$2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$6 x^{2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y'$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $6 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y y' + 5 y' = - 6 x^{2}$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $4 y y' + 5 y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $4 y y'$ .

$y' (4 y) + 5 y' = - 6 x^{2}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $5 y'$ .

$y' (4 y) + y' \cdot 5 = - 6 x^{2}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (4 y) + y' \cdot 5$ .

$y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$

Passaggio 5.3

Dividi per $4 y + 5$ ciascun termine in $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $4 y + 5$ ciascun termine in $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ .

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4 y + 5$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$