Calcolo Esempi

$\int 5 \cdot 5^{5 x} d x$

Passaggio 1

Moltiplica $5$ per $5^{5 x}$ .

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Passaggio 1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$\int 5^{1} \cdot 5^{5 x} d x$

Passaggio 1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5^{1 + 5 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + 5 x$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$0 + 5$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $5$ .

$5$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Passaggio 3

$5^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $5^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ come $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{1 + 5 x} + C$