Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , quindi $3 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 3 x$ . Allora $d u_{2} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 11

$\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 13

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$