Calcolo Esempi

$y = \frac{5}{5 x^{2} + 5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{5 x^{2} + 5})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ e $5 x^{2} + 5$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 x^{2} + 5}]$

Passaggio 3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5}]$

Passaggio 3.1.1.2.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5 (1)}]$

Passaggio 3.1.1.2.3

Scomponi $5$ da $5 (x^{2}) + 5 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Passaggio 3.1.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Passaggio 3.1.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 3.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 3.4.2.3

$x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$