Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{2 lim_{h \to 0} \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.6

Calcola il limite di $2 \sqrt[3]{8}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + 0} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Somma $8$ e $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2^{3}} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.5

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{2^{3}}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{2^{3}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Calcola $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}]$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{8 + h}$ come ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $h$ è $2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ e $g (h) = 8 + h$ .

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Passaggio 1.3.5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $8$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.10.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.12

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.13

$\frac{1}{3}$ e ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.14

Moltiplica $\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.15

Sposta ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.16

$2$ e $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Calcola $\frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7

Somma $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{2}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{{(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $\frac{2}{3}$ da ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Combina.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $8$ e $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.3.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{2}}$

Passaggio 4.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{2}{12}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Passaggio 4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimale:

$0.1\overline{6}$