Calcolo Esempi

$y = \frac{\sqrt{1 - \sin (x)}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - \sin (x)}$ come ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9.2.2

Sposta ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9.2.3

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 10

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \cos (x)) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 11.1

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 11.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x}{x^{4}}$

Passaggio 12

Combina $- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x$ usando un comune denominatore.

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Passaggio 12.1

Sposta ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{4}}$

Passaggio 12.2

Per scrivere $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 12.3

$- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 13

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 14

Moltiplica ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.1

Sposta ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x ({(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 14.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 14.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 14.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{2}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 14.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 15

Semplifica $- 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Passaggio 16

Riscrivi $\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$ come un prodotto.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 17

Moltiplica $\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 18.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 18.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 18.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x + 4 x \sin (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 18.3

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4

Scomponi $x$ da $- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x$ .

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Passaggio 18.4.1

Scomponi $x$ da $- x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4.2

Scomponi $x$ da $4 x \sin (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4.3

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4.4

Scomponi $x$ da $x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x))$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4.5

Scomponi $x$ da $x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 18.5.1

Scomponi $x$ da $2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 18.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 18.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.6

Scomponi $- 1$ da $- x \cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7

Scomponi $- 1$ da $4 \sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.8

Scomponi $- 1$ da $- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.9

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.10

Scomponi $- 1$ da $- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.11

Riscrivi $- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ come $- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$