Calcolo Esempi

$\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$ come ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e $g (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 6.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{4}$ e ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 13

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + 0)$

Passaggio 14

Somma $3 x^{2} + 8 x$ e $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$ .

$(3 x^{2} + 8 x) \frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $3 x^{2} + 8 x$ per $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 15.3

Scomponi $x$ da $3 x^{2} + 8 x$ .

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Passaggio 15.3.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 15.3.2

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 8}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 15.3.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (3 x + 8)}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$