Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ come ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ come ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

$\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ e $g (x) = 8 x^{2} - 2$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.7.2

${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 4.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 4.11

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 4.12

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

Passaggio 4.13

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.13.1

Somma $16 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

Passaggio 4.13.2

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Passaggio 4.13.3

$- 16$ e $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Passaggio 4.13.4

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ e $x$ .

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 4.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$