Calcolo Esempi

$y = \arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{6}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{6})}^{2}) \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 2.6

Sposta $6$ alla sinistra di $1 + {(\frac{x}{6})}^{2}$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 7$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.15

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{6^{2}})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3

$6$ e $\frac{x^{2}}{36}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $36$ .

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Passaggio 4.6.4.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 (x^{2})}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.6.4.2.1

Scomponi $6$ da $36$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x \cdot x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x^{1}) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{1 + 1} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.11

Moltiplica $- 2$ per $- 7$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.12

Sottrai $6 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.13

Per scrivere $\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6.14

Per scrivere $\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

Passaggio 4.6.15

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(6 + \frac{x^{2}}{6}) \cdot 6 {(x^{2} + 3)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.6.15.1

Moltiplica $\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ per $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

Passaggio 4.6.15.2

Moltiplica $\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ per $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

Passaggio 4.6.15.3

Riordina i fattori di $(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

Passaggio 4.6.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} + (- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$