Calcolo Esempi

${(3 x + y)}^{5} = 4 y^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(3 x + y)}^{5}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 3 x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + y$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$12 y^{2} y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + 5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 {(3 x + y)}^{4} \cdot 3 + 5 {(3 x + y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

Passaggio 5.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 {(3 x + y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

Passaggio 5.1.4.2

Riordina i fattori in $15 {(3 x + y)}^{4} + 5 {(3 x + y)}^{4} y'$ .

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} = 12 y^{2} y'$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $12 y^{2} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Usa il teorema binomiale.

$15 ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$15 (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$15 (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.3

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$15 (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$15 (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.5

Moltiplica $27$ per $4$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.6

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.8

Moltiplica $9$ per $6$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$15 (81 x^{4}) + 15 (108 x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.4.1

Moltiplica $81$ per $15$ .

$1215 x^{4} + 15 (108 x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.4.2

Moltiplica $108$ per $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.4.3

Moltiplica $54$ per $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 810 (x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.4.4

Moltiplica $12$ per $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 810 (x^{2} y^{2}) + 180 (x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.5

Rimuovi le parentesi.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.6

Usa il teorema binomiale.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.7.1

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.3

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.5

Moltiplica $27$ per $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.6

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.8

Moltiplica $9$ per $6$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.8

Applica la proprietà distributiva.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4}) + 5 y' (108 x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.9.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 5 y' (108 x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.9.2

Moltiplica $108$ per $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.9.3

Moltiplica $54$ per $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 270 y' (x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.9.4

Moltiplica $12$ per $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 270 y' (x^{2} y^{2}) + 60 y' (x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2.2.10

Moltiplica $5$ per $81$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $1215 x^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1620 x^{3} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $810 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $180 x y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3}$

Passaggio 5.3.5

Sottrai $15 y^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $405 y' x^{4}$ .

$y' (405 x^{4}) + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $540 y' x^{3} y$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $270 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $60 y' x y^{3}$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $y'$ da $5 y' y^{4}$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.6

Scomponi $y'$ da $- 12 y^{2} y'$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.7

Scomponi $y'$ da $y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y)$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.8

Scomponi $y'$ da $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.9

Scomponi $y'$ da $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.10

Scomponi $y'$ da $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3}) + y' (5 y^{4})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.4.11

Scomponi $y'$ da $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Passaggio 5.5

Dividi per $405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}$ ciascun termine in $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

$\frac{y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} = \frac{- 1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(1215) x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(1620) x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(810) x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(180) x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Scomponi $405 x^{3}$ da $- 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $405 x^{3}$ da $- 1215 x^{4}$ .

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x) - 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.2

Scomponi $405 x^{3}$ da $- 1620 x^{3} y$ .

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x) + 405 x^{3} (- 4 y)}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.3

Scomponi $405 x^{3}$ da $405 x^{3} (- 3 x) + 405 x^{3} (- 4 y)$ .

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x - 4 y)}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x - 4 y) - 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Scomponi $405 x^{2}$ da $405 x^{3} (- 3 x - 4 y) - 810 x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Scomponi $405 x^{2}$ da $405 x^{3} (- 3 x - 4 y)$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) - 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Scomponi $405 x^{2}$ da $- 810 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) + 405 x^{2} (- 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Scomponi $405 x^{2}$ da $405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) + 405 x^{2} (- 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x) + x (- 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x \cdot x + x (- 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x \cdot x - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.5.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 (x \cdot x) - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1

Scomponi $45 x$ da $405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 180 x y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1.1

Scomponi $45 x$ da $405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) - 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.1.2

Scomponi $45 x$ da $- 180 x y^{3}$ .

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) + 45 x (- 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.1.3

Scomponi $45 x$ da $45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) + 45 x (- 4 y^{3})$ .

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2}) + 9 x (- 4 x y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x (- 4 x y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.3.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 (x \cdot x) (- 4 y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.3.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 (x^{2} x) + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x^{3} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4.2

Moltiplica $9$ per $- 3$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} + 9 \cdot - 4 x^{2} y + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4.4

Moltiplica $9$ per $- 4$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4.4.5

Moltiplica $9$ per $- 2$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.1

Scomponi $15$ da $45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - 15 y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.1.1

Scomponi $15$ da $45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})$ .

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) - 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.1.2

Scomponi $15$ da $- 15 y^{4}$ .

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) + 15 (- y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.1.3

Scomponi $15$ da $15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) + 15 (- y^{4})$ .

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3}) + 3 x (- 36 x^{2} y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x (- 36 x^{2} y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 (x^{2} x) (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{2 + 1} (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.3.3.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 (x \cdot x) (- 18 y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.4.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 (x^{3} x) + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 (x^{3} x^{1}) + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x^{3 + 1} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x^{4} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.2

Moltiplica $3$ per $- 27$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} + 3 \cdot - 36 x^{3} y + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.4

Moltiplica $3$ per $- 36$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 3 \cdot - 18 x^{2} y^{2} + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.6

Moltiplica $3$ per $- 18$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.7

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- 81 x^{4}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4}) - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.2

Scomponi $- 1$ da $- 108 x^{3} y$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4}) - (108 x^{3} y) - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (81 x^{4}) - (108 x^{3} y)$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.4

Scomponi $- 1$ da $- 54 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - (54 x^{2} y^{2}) - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.5

Scomponi $- 1$ da $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - (54 x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.6

Scomponi $- 1$ da $- 12 x y^{3}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - (12 x y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.7

Scomponi $- 1$ da $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - (12 x y^{3})$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.8

Scomponi $- 1$ da $- y^{4}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - (y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.9

Scomponi $- 1$ da $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - (y^{4})$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.7.10.1

Riscrivi $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})$ come $- 1 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})$ .

$y' = \frac{15 (- 1 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7.10.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$