Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{2} + 2 x + 11}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x + 3) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $2 x^{2} + 2 x + 11$ per $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{A (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + 4)$ per $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (2 x + 3)$ per $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (2 x + 3)$

Passaggio 1.1.6.5

Espandi $(B x + C) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x + 3) + C (2 x + 3)$

Passaggio 1.1.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x + 3)$

Passaggio 1.1.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Passaggio 1.1.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.6.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x \cdot x + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Passaggio 1.1.6.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.6.2.1

Sposta $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B (x \cdot x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Passaggio 1.1.6.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Passaggio 1.1.6.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $B x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 \cdot (B x) + C (2 x) + C \cdot 3$

Passaggio 1.1.6.6.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + C \cdot 3$

Passaggio 1.1.6.6.5

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Passaggio 1.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Passaggio 1.1.7.2

Sposta $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 3 C$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $4 A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 4 A + 3 C$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + 2 B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$11 = 4 A + 3 C$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $2 = A + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 2$ .

$A + 2 B = 2$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2 - 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $11 = 4 A + 3 C$ con $2 - 2 B$ .

$11 = 4 (2 - 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$11 = 4 \cdot 2 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$11 = 8 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.3

Riordina $2$ e $- 2 B$ .

$A = - 2 B + 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $B$ in $A = - 2 B + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 B + 2 = A$ .

$- 2 B + 2 = A$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 B = A - 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.4.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = A - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = A - 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.4.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{A}{2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.4.3.3.1.2

Dividi $- 2$ per $- 2$ .

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{A}{2} + 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $11 = 8 - 8 B + 3 C$ con $- \frac{A}{2} + 1$ .

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Semplifica $8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{A}{2}$ nel numeratore.

$11 = 8 - 8 \frac{- A}{2} - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$11 = 8 + 2 (- 4) (\frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$11 = 8 + 2 \cdot (- 4 \frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.2

Combina i termini opposti in $8 + 4 A - 8 + 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$11 = 4 A + 0 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.2.1.2.2

Somma $4 A$ e $0$ .

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Passaggio 1.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $2 = 3 B + 2 C$ con $- \frac{A}{2} + 1$ .

$2 = 3 (- \frac{A}{2} + 1) + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.5.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 = 3 (- \frac{A}{2}) + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.5.4.1.2

Moltiplica $3 (- \frac{A}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 = - 3 \frac{A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.5.4.1.2.2

$- 3$ e $\frac{A}{2}$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.5.4.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.5.4.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6

Risolvi per $C$ in $2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$ .

$- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Somma $\frac{3 A}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 + 2 C = 2 + \frac{3 A}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 C = 2 + \frac{3 A}{2} - 3$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.2.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$C = \frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.3.3.1.2

Moltiplica $\frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{3 A}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$C = \frac{3 A}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.6.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $11 = 4 A + 3 C$ con $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Semplifica $4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4}) + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.2

Moltiplica $3 \frac{3 A}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1.2.1

$3$ e $\frac{3 A}{4}$ .

$11 = 4 A + \frac{3 (3 A)}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.3

Moltiplica $3 (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.3.2

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.2

Per scrivere $4 A$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$11 = 4 A \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.3.1

$4 A$ e $\frac{4}{4}$ .

$11 = \frac{4 A \cdot 4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.4.1.1

Scomponi $A$ da $4 A \cdot 4 + 9 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.4.1.1.1

Scomponi $A$ da $4 A \cdot 4$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.4.1.1.2

Scomponi $A$ da $9 A$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + A \cdot 9}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.4.1.1.3

Scomponi $A$ da $A (4 \cdot 4) + A \cdot 9$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.4.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$11 = \frac{A (16 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.4.1.3

Somma $16$ e $9$ .

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.7.2.1.4.2

Sposta $25$ alla sinistra di $A$ .

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8

Risolvi per $A$ in $11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$ .

$\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Somma $\frac{3}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{25 A}{4} = 11 + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.2.2

Per scrivere $11$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = 11 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.2.3

$11$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.5.1

Moltiplica $11$ per $2$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{22 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.2.5.2

Somma $22$ e $3$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.1.1

Semplifica $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.1.1.2.1

Scomponi $25$ da $25 A$ .

$\frac{1}{25} \cdot (25 (A)) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.2.1

Semplifica $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A = \frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$A = \frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.8.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ con $2$ .

$C = \frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.2.1

Semplifica $\frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.2.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$C = \frac{6}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$C = \frac{2 (3)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.2.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{3 - 1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.2.1.4.1

Sottrai $1$ da $3$ .

$C = \frac{2}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.2.1.4.2

Dividi $2$ per $2$ .

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Passaggio 1.3.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $B = - \frac{A}{2} + 1$ con $2$ .

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Passaggio 1.3.9.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.4.1

Semplifica $- \frac{2}{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Passaggio 1.3.9.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Passaggio 1.3.9.4.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Passaggio 1.3.9.4.1.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

Passaggio 1.3.10

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 0, C = 1, A = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.2

Somma $0$ e $1$ .

$\int \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x + 3$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riordina $x^{2}$ e $4$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Passaggio 9.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$\ln (| u |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 3$ .

$\ln (| 2 x + 3 |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$