Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{64}}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}}$

Passaggio 1.2

$x^{2}$ e $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64 - 1}{64}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} (x + 8 x^{2}) \frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $x + 8 x^{2}$ per $\frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{(x + 8 x^{2}) \cdot 64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $64$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.4

Calcola il limite inserendo $- \frac{1}{8}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{8}$ per $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{8}$ per $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- \frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ per $1$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.4

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1.4.1

Scomponi $8$ da $8^{2}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1^{2}}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$64 \frac{\frac{- 1 + 1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$64 \frac{\frac{0}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.4

Dividi $0$ per $8$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il termine $64$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$64 \frac{0}{64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{8}$ per $x$ .

$64 \frac{0}{64 {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$64 \frac{0}{64 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ per $1$ .

$64 \frac{0}{64 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$64 \frac{0}{64 \frac{1}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.5

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$64 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$64 \frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$64 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$64 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$64 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$64 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Passaggio 3.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \cdot 64 - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Sposta $64$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [64 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7.2

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{2}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7.4

Moltiplica $2$ per $64$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + 0}$

Passaggio 3.3.9

Somma $128 x$ e $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $\frac{1}{128}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{x}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Passaggio 4.4

Sposta il termine $16$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $- \frac{1}{8}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{8}$ per $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{8}$ per $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $64$ da $128$ .

$64 \frac{1}{64 (2)} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune.

$64 \frac{1}{64 \cdot 2} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} ((16 (- \frac{1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$\frac{1}{2} ((16 (\frac{- 1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Passaggio 6.3.1.2

Scomponi $8$ da $16$ .

$\frac{1}{2} ((8 (2) \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Passaggio 6.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} ((8 \cdot 2 \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Passaggio 6.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot - 1 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((- 2 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Passaggio 6.4

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (- 1 (- 1 \cdot 8))$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 1 (- 1 \cdot 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot - 8)$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Passaggio 6.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$4$