Calcolo Esempi

lim x \to \infty \frac{\sqrt{x}}{ln (ln (x))}

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim x \to \infty \sqrt{x}}{lim x \to \infty ln (ln (x))}

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Passaggio 1.2

Con

x

$x$ che tende a

\infty

$\infty$ per i radicali, il valore diventa

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{lim x \to \infty ln (ln (x))}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Passaggio 1.3

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim x \to \infty \frac{\sqrt{x}}{ln (ln (x))} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.2

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ come

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = \frac{1}{2}

$n = \frac{1}{2}$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.4

Per scrivere

- 1

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.5

- 1

$- 1$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.7.2

Sottrai

2

$2$ da

1

$1$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [ln (ln (x))]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = \ln (x)$ e

$g (x) = \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.10.2

La derivata di

$\ln (u)$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.11

La derivata di

$\ln (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.12

Moltiplica

$\frac{1}{\ln (x)}$ per

$\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x) x}}$

Passaggio 3.13

Riordina i termini.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x \ln (x)}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x \ln (x))$

Passaggio 5

Riscrivi

$x^{\frac{1}{2}}$ come

$\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x \ln (x))$

Passaggio 6

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$x$ e

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 \sqrt{x}} \ln (x)$

Passaggio 6.2

$\frac{x}{2 \sqrt{x}}$ e

$\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa

$\infty$ .

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2.3

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.3

Poiché la funzione

$\sqrt{x}$ tende a

$\infty$ , anche la costante positiva

$2$ moltiplicata per la funzione tende a

$\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Considera il limite con il multiplo costante

$2$ rimosso.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.3.2

Con

$x$ che tende a

$\infty$ per i radicali, il valore diventa

$\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.2

Poiché

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

$f (x) = x$ e

$g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.3

La derivata di

$\ln (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.4

$x$ e

$\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.5

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica

$\ln (x)$ per

$1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.8

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{x}$ come

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 7.3.9

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a

$x$ è

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 7.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Passaggio 7.3.11

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Passaggio 7.3.12

$- 1$ e

$\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 7.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 7.3.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.14.1

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Passaggio 7.3.14.2

Sottrai

$2$ da

$1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Passaggio 7.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Passaggio 7.3.16

$\frac{1}{2}$ e

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 7.3.17

$2$ e

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 7.3.18

Sposta

$x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 7.3.19

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 7.3.20

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.5

Riscrivi

$x^{\frac{1}{2}}$ come

$\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) \sqrt{x}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 1 + \ln (x) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 8.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 8.3

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$(1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 9

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa

$\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 10

Con

$x$ che tende a

$\infty$ per i radicali, il valore diventa

$\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot \infty$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\infty \cdot \infty$

Passaggio 11.2

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\infty$