Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Passaggio 1.2

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Passaggio 1.3

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.10.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.11

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $\frac{1}{\ln (x)}$ per $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x) x}}$

Passaggio 3.13

Riordina i termini.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x \ln (x)}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x \ln (x))$

Passaggio 5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x \ln (x))$

Passaggio 6

Combina i fattori.

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Passaggio 6.1

$x$ e $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 \sqrt{x}} \ln (x)$

Passaggio 6.2

$\frac{x}{2 \sqrt{x}}$ e $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 7.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1.2.1.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.2.3

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.3

Poiché la funzione $\sqrt{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Passaggio 7.1.3.2

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.4

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Passaggio 7.3.8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 7.3.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 7.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Passaggio 7.3.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Passaggio 7.3.12

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 7.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 7.3.14

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.14.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Passaggio 7.3.14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Passaggio 7.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Passaggio 7.3.16

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 7.3.17

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 7.3.18

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 7.3.19

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 7.3.20

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) \sqrt{x}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 1 + \ln (x) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 8.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 8.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$(1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 9

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Passaggio 10

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot \infty$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\infty \cdot \infty$

Passaggio 11.2

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\infty$