Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{(x^{3} + 1)}{x} d x$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{2}}{1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}}$ e $\ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Passaggio 6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)$ per $e^{2}$ e per $1$ .

$(\frac{1}{3} {(e^{2})}^{3} + \ln (| e^{2} |)) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2})}^{3}$ .

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Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{2 \cdot 3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{3} e^{6} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.5

Per scrivere $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Passaggio 6.2.2.6

$- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Passaggio 6.2.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{6} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Passaggio 6.2.2.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$e^{2}$ corrisponde approssimativamente a $7.38905609$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (e^{2})$

Passaggio 7.2

Espandi $\ln (e^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \ln (e)$

Passaggio 7.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \cdot 1$

Passaggio 7.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Forma decimale:

$136.14293116 \dots$

Passaggio 9