Calcolo Esempi

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \arctan (y)$ e $g (y) = 4 x^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

Passaggio 3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Somma $8 x x'$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

Passaggio 3.7.2

$8$ e $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

Passaggio 3.7.3

$x$ e $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

Passaggio 3.7.4

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ e $x'$ .

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7.5

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riordina i termini.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Riscrivi ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ come $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Passaggio 3.8.2.2

Espandi $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Passaggio 3.8.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Passaggio 3.8.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Passaggio 3.8.2.3.2

Sottrai $12 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Passaggio 3.8.2.4

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Passaggio 3.8.2.5

Scomponi $2$ da $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.5.1

Scomponi $2$ da $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Passaggio 3.8.2.5.2

Scomponi $2$ da $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Passaggio 3.8.2.5.3

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Passaggio 3.8.2.5.4

Scomponi $2$ da $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Passaggio 3.8.2.5.5

Scomponi $2$ da $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Passaggio 3.8.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Scomponi $2$ da $8 x x'$ .

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Passaggio 3.8.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Passaggio 3.8.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ per $1$ .

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

Passaggio 5.4

Dividi per $4 x$ ciascun termine in $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $4 x$ ciascun termine in $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $4$ da $8 x^{4}$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $2 x^{4}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.5

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 12 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.4.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 5.4.3.1.4.2.5

Dividi $- 3 x$ per $1$ .

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$