Calcolo Esempi

$\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{6} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{4}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 (2 x)$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.3

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.5

$\frac{6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.2.6.2.4

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$2 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 14 x$ rispetto a $x$ è $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \cdot 1$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $- 14$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 14$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 14 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 14 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $2$ da $- 14$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x - 7$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$2 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x - 7) (x + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x - 7) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 7, - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $7$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot {(7)}^{4} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot 2401 - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

$\frac{1}{6}$ e $2401$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 \cdot 343 - 7 {(7)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $343$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 {(7)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 \cdot 49$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $- 7$ per $49$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 343$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $- 686$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} - 343$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 686}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} \cdot \frac{6}{6} - 343$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 686}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} - 343$

Passaggio 4.1.2.2.4

Scrivi $- 343$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 343}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 343}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343 \cdot 6}{6}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (7) = \frac{2401 - 686 \cdot 6 - 343 \cdot 6}{6}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 686$ per $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 343 \cdot 6}{6}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $- 343$ per $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 2058}{6}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $4116$ da $2401$ .

$f (7) = \frac{- 1715 - 2058}{6}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $2058$ da $- 1715$ .

$f (7) = \frac{- 3773}{6}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (7) = - \frac{3773}{6}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $- \frac{3773}{6}$ .

$- \frac{3773}{6}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $7$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ è $(7, - \frac{3773}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(7, - \frac{3773}{6})$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} - 7$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} \cdot \frac{6}{6} - 7$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} - 7$

Passaggio 4.3.2.2.4

Scrivi $- 7$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 7}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 7}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7 \cdot 6}{6}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{1 + 2 \cdot 6 - 7 \cdot 6}{6}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 7 \cdot 6}{6}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $- 7$ per $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 42}{6}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Somma $1$ e $12$ .

$f (- 1) = \frac{13 - 42}{6}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Sottrai $42$ da $13$ .

$f (- 1) = \frac{- 29}{6}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{29}{6}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $- \frac{29}{6}$ .

$- \frac{29}{6}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ è $(- 1, - \frac{29}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, - \frac{29}{6})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(7, - \frac{3773}{6}), (- 1, - \frac{29}{6})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = 2 {(- 1.1)}^{2} - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = 2 \cdot 1.21 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 + 13.2 - 14$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $2.42$ e $13.2$ .

$f'' (- 1.1) = 15.62 - 14$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $14$ da $15.62$ .

$f'' (- 1.1) = 1.62$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $1.62$ .

$1.62$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.1$ , la derivata seconda è $1.62$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 7)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 - 14$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 9 - 12 \cdot 3 - 14$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (3) = 18 - 12 \cdot 3 - 14$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$f'' (3) = 18 - 36 - 14$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $36$ da $18$ .

$f'' (3) = - 18 - 14$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $14$ da $- 18$ .

$f'' (3) = - 32$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 32$ .

$- 32$

Passaggio 7.3

Per $3$ , la derivata seconda è $- 32$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 1, 7)$ .

Decrescente su $(- 1, 7)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7.1$ nell'espressione.

$f'' (7.1) = 2 {(7.1)}^{2} - 12 \cdot 7.1 - 14$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $7.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.1) = 2 \cdot 50.41 - 12 \cdot 7.1 - 14$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $2$ per $50.41$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 12 \cdot 7.1 - 14$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $7.1$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 85.2 - 14$

Passaggio 8.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $85.2$ da $100.82$ .

$f'' (7.1) = 15.62 - 14$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $14$ da $15.62$ .

$f'' (7.1) = 1.62$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $1.62$ .

$1.62$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $7.1$ , la derivata seconda è $1.62$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(7, \infty)$ .

Crescente su $(7, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$ .

$(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$

Passaggio 10