Calcolo Esempi

$\int \frac{2 t^{3} + 1}{{(t^{4} + 2 t)}^{3}} d t$

Passaggio 1

Sia $u = t^{4} + 2 t$ . Allora $d u = (4 t^{3} + 2) d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (2 t^{3} + 1) d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = t^{4} + 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $t^{4} + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 2 t]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{4} + 2 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 t^{3} + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 t^{3} + 2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ come $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Passaggio 6.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{4} + 2 t$ .

$- \frac{1}{4 {(t^{4} + 2 t)}^{2}} + C$