Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{4^{2 a x}} d x$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $4^{2 a x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(4^{2 a x})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(4^{2 a x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 4^{2 a x \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int 1 \cdot 4^{- 2 a x} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $4^{- 2 a x}$ per $1$ .

$\int 4^{- 2 a x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - 2 a x$ . Allora $d u = - 2 a d x$ , quindi $\frac{1}{- 2 a} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - 2 a x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- 2 a x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 a x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 2 a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 a x$ rispetto a $x$ è $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 a \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 a \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 a$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 4^{u} \cdot \frac{1}{- 2 a} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int 4^{u} \cdot (- \frac{1}{2 a}) d u$

Passaggio 3.2

$4^{u}$ e $\frac{1}{2 a}$ .

$\int - \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2 a}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2 a}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2 a} \int 4^{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $4^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{4^{u}}{\ln (4)}$ .

$- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$ come $- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\ln (4)}$ per $\frac{1}{2 a}$ .

$- \frac{1}{\ln (4) (2 a)} \cdot 4^{u} + C$

Passaggio 7.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (4)$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \ln (4) a} \cdot 4^{u} + C$

Passaggio 7.2.3

$4^{u}$ e $\frac{1}{2 \ln (4) a}$ .

$- \frac{4^{u}}{2 \ln (4) a} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 a x$ .

$- \frac{4^{- 2 a x}}{2 \ln (4) a} + C$