Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x + 2} d x$

Passaggio 3

Dividi $x - 1$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x$

$1$

Passaggio 3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$1$

Passaggio 3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$2$

Passaggio 3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$2$

Passaggio 3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$2$
					-	$3$

Passaggio 3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$x + C + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C - \int \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x + C - (3 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Passaggio 8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x + C - 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 9

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$x + C - 3 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$x - 3 \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$x - 3 \ln (| x + 2 |) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $x - 3 \ln (| x + 2 |) + C$