Calcolo Esempi

$x^{3} - y^{3} = 6 x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$6 (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$6 x y' + 6 y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $6 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $3 y'$ da $- 3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $3 y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- y^{2}) - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $3 y'$ da $- 6 x y'$ .

$3 y' (- y^{2}) + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y' (- y^{2}) + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (- y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $3 (- y^{2} - 2 x)$ ciascun termine in $3 y' (- y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $3 (- y^{2} - 2 x)$ ciascun termine in $3 y' (- y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y' (- y^{2} - 2 x)}{3 (- y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (- y^{2} - 2 x)}{3 (- y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- y^{2} - 2 x)}{- y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $- y^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- y^{2} - 2 x)}{- y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{- y^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{- y^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- y^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- (y^{2}) - 2 x}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- (y^{2}) - (2 x)}$

Passaggio 5.4.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - (2 x)$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- (y^{2} + 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.2.5

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.5.1

Riscrivi $- (y^{2} + 2 x)$ come $- 1 (y^{2} + 2 x)$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- 1 (y^{2} + 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} + 2 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} + 2 x}$