Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{10}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.3

$3$ e $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{30}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $30$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $3$ da $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.2.6.2.4

Dividi $10 x^{2}$ per $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $10 x^{2} - 2 x - 8$ e $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x^{2} - 2 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$f'' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $20 x - 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{10}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.3

$3$ e $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $3$ per $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.5

$\frac{30}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.6

Elimina il fattore comune di $30$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.2.6.2.4

Dividi $10 x^{2}$ per $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $10 x^{2} - 2 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x^{2} - 2 x - 8$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2$ da $10 x^{2}$ .

$2 (5 x^{2}) - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 4) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $2$ da $2 (5 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4)$ .

$2 (5 x^{2} - x - 4) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$2 (5 x^{2} - (x) - 4) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $4$ più $- 5$ .

$2 (5 x^{2} + (4 - 5) x - 4) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 x^{2} + 4 x - 5 x - 4) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((5 x^{2} + 4 x) - 5 x - 4) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (x (5 x + 4) - (5 x + 4)) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 x + 4$ .

$2 ((5 x + 4) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $5 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $5 x + 4$ uguale a $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $5 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = - 4$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 4$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Passaggio 5.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{5}$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{4}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 (- \frac{4}{5}) - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{5}$ nel numeratore.

$20 (\frac{- 4}{5}) - 2$

Passaggio 9.1.1.2

Scomponi $5$ da $20$ .

$5 (4) \frac{- 4}{5} - 2$

Passaggio 9.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 4 \frac{- 4}{5} - 2$

Passaggio 9.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot - 4 - 2$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$- 16 - 2$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $- 16$ .

$- 18$

Passaggio 10

$x = - \frac{4}{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{4}{5}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{4}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{4}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot {(- \frac{4}{5})}^{3} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{5})}^{3}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{5^{3}})) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{4^{3}}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{125}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{64}{125}$ nel numeratore.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.5.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 (2)}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.5.3

Scomponi $5$ da $125$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 64}{25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{- 64}{25}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2 \cdot - 64}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.7

Moltiplica $2$ per $- 64$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.8

Moltiplica $3$ per $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.10

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.10.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.11.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.11.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.11.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.11.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{3} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{4^{2}}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.13

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.14

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.15

Moltiplica $- 8 (- \frac{4}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + 8 (\frac{4}{5}) + 48$

Passaggio 11.2.1.15.2

$8$ e $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{8 \cdot 4}{5} + 48$

Passaggio 11.2.1.15.3

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{32}{5} + 48$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $\frac{16}{25}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{5} + 48$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{16}{25}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} + 48$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{32}{5}$ per $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} \cdot \frac{15}{15} + 48$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $\frac{32}{5}$ per $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + 48$

Passaggio 11.2.2.5

Scrivi $48$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1}$

Passaggio 11.2.2.6

Moltiplica $\frac{48}{1}$ per $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1} \cdot \frac{75}{75}$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $\frac{48}{1}$ per $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Passaggio 11.2.2.8

Riordina i fattori di $25 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 25} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Passaggio 11.2.2.9

Moltiplica $3$ per $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Passaggio 11.2.2.10

Moltiplica $5$ per $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{75} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $32$ per $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 48 \cdot 75}{75}$

Passaggio 11.2.4.3

Moltiplica $48$ per $75$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 3600}{75}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Sottrai $48$ da $- 128$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 176 + 480 + 3600}{75}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 176$ e $480$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{304 + 3600}{75}$

Passaggio 11.2.5.3

Somma $304$ e $3600$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{3904}{75}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{3904}{75}$ .

$y = \frac{3904}{75}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 (1) - 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $20$ per $1$ .

$20 - 2$

Passaggio 13.2

Sottrai $2$ da $20$ .

$18$

Passaggio 14

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot 1 - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Passaggio 15.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 + 48$

Passaggio 15.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} - 8 + 48$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 48$

Passaggio 15.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8 + 48$

Passaggio 15.2.2.4

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 48$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48$

Passaggio 15.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 48$

Passaggio 15.2.2.7

Scrivi $48$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1}$

Passaggio 15.2.2.8

Moltiplica $\frac{48}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 15.2.2.9

Moltiplica $\frac{48}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{10 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 48 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.3

Moltiplica $48$ per $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 144}{3}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Sottrai $3$ da $10$ .

$f (1) = \frac{7 - 24 + 144}{3}$

Passaggio 15.2.5.2

Sottrai $24$ da $7$ .

$f (1) = \frac{- 17 + 144}{3}$

Passaggio 15.2.5.3

Somma $- 17$ e $144$ .

$f (1) = \frac{127}{3}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{127}{3}$ .

$y = \frac{127}{3}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ .

$(- \frac{4}{5}, \frac{3904}{75})$ è un massimo locale

$(1, \frac{127}{3})$ è un minimo locale

Passaggio 17