Calcolo Esempi

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Passaggio 1.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Passaggio 3.5

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Passaggio 4.2.2

$\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ e $x$ .

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

$y$ e $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$