Calcolo Esempi

$5^{x} + 5^{y} = 10$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5^{x} + 5^{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

Passaggio 3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ .

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

Passaggio 5.1.2

Riordina $y'$ e $5^{y}$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

Passaggio 5.1.3

Riordina $5^{x} \ln (5)$ e $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ .

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Riordina i fattori in $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ .

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

Passaggio 5.4

Somma $- 5^{y} - 5^{x}$ e $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

Passaggio 5.5

Sottrai $\ln (5)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

Passaggio 5.6

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.6.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.6.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.6.3.1.3

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

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Passaggio 5.6.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.6.3.1.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$