Calcolo Esempi

$\int \frac{12 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 6}} d x$

Passaggio 1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 6}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{3} + 6$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{3} + 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{3} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 6]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$12 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $12$ .

$\frac{12}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 5.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$4 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $4 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ come $4 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$4 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$4$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6 u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 6$ .

$6 {(x^{3} + 6)}^{\frac{2}{3}} + C$