Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$

Passaggio 7

$\frac{1}{2}$ e $- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $1 + t^{2}$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Passaggio 8.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Scomponi $- 1$ da $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{2}$

Passaggio 9.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Passaggio 9.3

Scomponi $- 1$ da $- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

Passaggio 9.4

Riscrivi $- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ come $- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

Passaggio 9.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

Passaggio 10

Calcola il limite.

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Passaggio 10.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

Passaggio 10.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

Passaggio 10.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{1 + t^{2}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.6

Calcola il limite.

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Passaggio 10.6.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.6.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Passaggio 10.6.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 10.6.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 10.6.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 10.6.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$