Calcolo Esempi

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = a^{4} + x^{4}$ . Allora $d u = 4 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = a^{4} + x^{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{4} + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $a^{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $a^{4}$ e $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

Passaggio 1.5

Somma $a^{4}$ e $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $2 a^{4}$ e per $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $2 a^{4}$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (a^{4})$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica gli esponenti in ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.2.9.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 6.2.9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

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Passaggio 7.2.1

$2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Passaggio 7.2.2

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ e $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

Passaggio 7.4

$\frac{1}{2}$ e $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$