Calcolo Esempi

$x \sqrt{1 - x}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt{1 - x}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt{1 - x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5.2

$x$ e $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 8

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 8.1.2

Differenzia.

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Passaggio 8.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 8.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 8.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Passaggio 11.2

Riscrivi $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ come $- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$x$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 11.3.2

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{x \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 11.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 11.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 11.3.5

$u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11.3.9

Per scrivere $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 11.3.10.1

Moltiplica $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11.3.10.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11.3.12

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \sqrt{1 - x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$