Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\sqrt{3 x} + 8}$

Passaggio 1

Riscrivi il lato destro con esponenti razionali.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x}$ come ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$ come ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 (x))}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola del prodotto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.9

Poiché $3^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.12

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.14

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.14.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.15.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.15.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.15.3

$3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.15.4

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4.16

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Passaggio 4.17

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.17.1

Somma $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.17.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.17.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3.2

Riordina i termini.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$