Calcolo Esempi

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Passaggio 1.2

Risolvi $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $\sec^{2} (x)$ ciascun termine in $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi per $\sec^{2} (x)$ ciascun termine in $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Passaggio 1.2.1.3.2

Frazioni separate.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 1.2.1.3.3

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Passaggio 1.2.1.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Passaggio 1.2.1.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.5.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 1.2.1.3.5.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 1.2.1.3.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.2.1.3.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.2.1.3.6

Frazioni separate.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.2.1.3.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.2.1.3.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.2.1.3.9

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.2.1.3.10

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.10.1

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Passaggio 1.2.1.3.10.2

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.10.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 1.2.1.3.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Passaggio 1.2.1.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Passaggio 1.2.1.3.11

Dividi $8$ per $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'equazione come $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Passaggio 1.2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $8 \cos^{3} (x)$ come ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 2 \cos (x)$ e $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Applica la regola del prodotto a $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Passaggio 1.2.6

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $2 \cos (x) - 1 = 0$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = 1$

Passaggio 1.2.6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.7

Imposta $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Risolvi $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Passaggio 1.2.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Passaggio 1.2.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 1.2.7.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 1.2.7.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 1.2.7.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ vera.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Passaggio 1.2.10

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 1.2.10.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.10.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.10.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.10.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.10.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 1.2.10.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 1.2.10.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 1.2.10.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.10.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.10.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.10.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.10.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.11

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Passaggio 1.2.11.2

Il coseno inverso di $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ non è definito.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Passaggio 1.2.12

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Passaggio 1.2.12.2

Il coseno inverso di $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ non è definito.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Passaggio 1.2.13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $\frac{π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.5

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- \frac{π}{3}$ e $\frac{π}{3}$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 3.3.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3.6

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3.8

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.9.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.9.1.1

Calcola $\sin (x)$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 3.9.1.2

Calcola $\tan (x)$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.2

Semplifica.

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Passaggio 3.9.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.2.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3

Semplifica.

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Passaggio 3.9.3.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 3.9.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.6

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.9.3.7.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.8

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.9

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Passaggio 3.9.3.11

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Passaggio 3.9.3.12

Moltiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 3.9.3.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Passaggio 3.9.3.12.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Passaggio 3.9.3.13

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Passaggio 3.9.3.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 3.9.3.15

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$6 \sqrt{3}$

Forma decimale:

$10.39230484 \dots$

Passaggio 5